Mustafa Alabora, babası tenor Sabahattin Alabora ve annesi tiyatrocu Nur Hayat Fatma Pınar'ın oğlu olarak 16 Mart 1946 tarihinde İstanbul Şişli'de doğdu. Talatpaşa Ortaokulu'na devam eden Alabora, yüksek öğreniminde İstanbul Belediye Konservatuvarı'ndan mezun oldu.1964 yılından itibaren tiyatro kariyerine başlayan Mustafa Alabora İstanbul Şehir Tiyatrosu, Kent Oyuncuları ve Dormen Tiyatrosu gibi birçok tiyatro çatısı altında, farklı oyunlarda rol aldı. 1968-1969 yılları arasında Halk Oyuncuları ile sahneye çıktı. Aynı dönem sinema filmleri için de kamera karşısına geçen Mustafa Alabora, 1990’lı yıllara dek Ölüm Tarlası (1966), Balatli Arif (1967), Umutsuzlar (1971), Sahtekar (1972), Kopuk (1972), Talihli Amele (1980), Deliler Koğuşu (1981) ve Prenses (1987) gibi filmlerde boy gösterdi.

Özel televizyonların kurulması ve yükselişe ile beraber tv dizilerinde de yer almaya başlayan Alabora, Savcı (1992), Kurtuluş (1994), Kara Melek (1997), Kasırga İnsanları (2004), Yanık Koza (2005), Sensiz Yaşayamam (2010), Cinlerle Periler (2001) ve Poyraz Karayel (2015) gibi pek çok yerli yapımda seyircisi ile buluştu. Mustafa Alabora yeni dönem Türk sinemasında ise Abdülhamid Düşerken (2003) Kilit (2008), Uzun Hikâye (2012), Diktatör Adolf Hitler'in Hayatının Esrarengiz Yönleri (2015), Madımak: Carina'nın Günlüğü (2015), İftarlık Gazoz (2016), Ailecek Şaşkınız (2018) ve en son Cem Karaca'nın Gözyaşları (2024) gibi beyazperde işlerinde kamera karşısına geçti. 1976 - 1981 yılları arasında tiyatrocu Betül Arım ile evli kalan Mustafa Alabora’nın bu evliliğinden anne ve babası gibi oyuncu olan oğlu Memet Ali Alabora dünyaya geldi. Mustafa Alabora ayrıca Müjdat Gezen Sanat Merkezi'nde öğretim üyesi olarak görev yapmış ve tiyatro bölümü başkanlığını üstlenmiştir.