Çağrı Şensoy, 17 Nisan 1986 tarihinde İstanbul'da doğdu. Sanat hayatında ilk eğitimini Pera Güzel Sanatlar Lisesi'nde tiyatro bölümünde tamamladı akabinde 2004’te İstanbul Üniversitesi Devlet Konservatuvarı Oyunculuk Bölümü'nden mezun oldu. 2006 yılında ise Kadir Has Üniversitesi Film ve Drama Yüksek Lisans Programı'nda eğitimine devam etti. 2002 yılında tiyatro hayatına adım attı ve 2002-2006 yılları arasında Tiyatro Kedi Tiyatrosu'nda birçok oyunda rol aldı. 2009-2012 yılları arasında Kenter Tiyatrosu'nda "Cimri" ve "Ölümüne" adlı tiyatro eserleri ile sahneye çıktı. 2012’de İstanbul Devlet Tiyatrosu'nda "Çehov Makinesi" adlı oyunda Doktor Livov karakterine hayat verdi.

Televizyon ve sinema oyunculuğu kariyerine ise 2006’da Sıla dizisi ile adım atan Şensoy "Ölüm Çiçekleri", "Çakıl Taşları", "Mazi Kalbimde Yaradır", "Derin Düşünceler", "Meddah", "Aşkın Kanunu", "Kendinol" ve "Günahkar" ve Aşkın Kanunu gibi dizi ve filmlerde önemli roller üstlendi. 2016-2017 sezonunda yayınlanan "Muhteşem Yüzyıl: Kösem" dizisinde Deli Hüseyin Paşa karakteriyle tanındı. Takip eden yıllarda "Savaşçı" (2017-2018) dizisinde Kürşat Teğmen karakteriyle yer aldı ve 2020’den itibaren ise "Kuruluş Osman" dizisinde Cerkutay Bey karakteriyle izleyici karşısına çıktı. Ayrıca yönetmenliğini Çağan Irmak’ın üstlendiği Frankestein’ın farklı bir uyarlaması olan Yaratılan dizisinde Cafer karakterini canlandırmıştır.