Şaşkın Baba, Kemal ve Leyla'nın garip aşk hikayesini konu ediniyor. Kemal'in babası Nafiz ve Leyla'nın babası Naci, birbirine düşman olan iki adamdır. Ancak Kemal ile Leyla birbirine aşık olmuştur. Aileleri evlenmelerine izin vermeyeceği için bu durumda ikilinin kaçarak gizlice evlenmeleri gerekmektedir. Evlenmelerinin ardından olaylar daha da karışacaktır. Çünkü Kemal, Leyla'yı evine hizmetçi kılığında getirir ve bu kez de Kemal'in babası Nafiz, Leyla ile evlenmek isteyecektir.
Bu filmi sevdiyseniz, şunlar da ilginizi çekebilir: : Yılın en iyi filmleri 1964, En iyi film: Aksiyon, {Genre} türündeki en iyi filmler : 1964.